En mathématiques, le théorème de Gelfond-Schneider, démontré indépendamment et presque simultanément en 1934 par Aleksandr Gelfond et Theodor Schneider,, s'énonce de la façon suivante :
« Le » nombre αβ est à prendre ici au sens : exp(β log(α)), où log(α) est n'importe quelle détermination du logarithme complexe de α.
Le théorème de Gelfond-Schneider résout le septième problème de Hilbert et permet de construire de multiples exemples de nombres transcendants.
Exemples d'applications
L'application directe du théorème fournit des nombres transcendants comme 2√2 (la constante de Gelfond-Schneider), √2√2, ou encore eπγ pour tout nombre réel algébrique non nul γ (en posant α = eiπ = –1 et β = –iγ), par exemple eπ = (–1)–i (la constante de Gelfond) ou e–π/2 = ii.
Mais par contraposée, on en déduit aussi :
Si β est un nombre irrationnel tel qu'il existe un nombre algébrique α différent de 0 et de 1 pour lequel αβ soit algébrique, alors β est transcendant.
Ainsi, l'irrationnel ln 3 / ln 2 est transcendant (en utilisant α = 2).
Références
Voir aussi
Articles connexes
- Théorème d'Hermite-Lindemann
- Théorème de Baker
- Conjecture de Schanuel
Bibliographie
- Julien Haristoy et Édouard Oudet, « Autour du septième problème de Hilbert : une excursion en transcendance », L'Ouvert (revue de l'IREM de Strasbourg et de l'APMEP d'Alsace), vol. 107, , p. 39-54 (lire en ligne)
- (ru) R. Kuzĭmin, « Об одном новом классе трансцендентных чисел » [« Sur une nouvelle classe de nombres transcendants »], Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. VII, no 6, , p. 585-597 (lire en ligne) (cas où β est un irrationnel quadratique)
- Michel Waldschmidt, « Initiation aux nombres transcendants », L'Enseignement mathématique, vol. 20, , p. 53-85 (lire en ligne)
- Arithmétique et théorie des nombres
